|
|
第四章闵氏时空
(1)
现在已经知道的是，物理学的几乎全部知识，全是建立在平坦的闵氏时空之上，但广义相对论是一个例外。如果问什么是广义相对论里的度量，答案是它很象是人生，人生如戏,但看戏的无非做戏人，也就是说，度量在时空舞台上，它既是演员又是观众。度量刻画时空流形的弯曲。古希腊哲学家们对于空间缺乏清晰的数学认识,因此他们的讨论没有考虑到这个空间到底是平坦还是弯曲。于是出现了一些过于飘渺的议论，这些议论有的是很诙谐的，比如认为大地是被乌龟托着，浮于大海之上。理想主义派的代表人物是柏拉图，他有时间研究几何学，搞了一个奥林匹亚学院，广收门徒,传道授业解惑,一时天下英才,尽数被得而育之,柏拉图的人生真乃是一派风流，他写了一本书，叫《理想国》。大学问家难免一脉相传，比如柏拉图本身就是苏格拉底的学生，而柏拉图的学生，有一个人，名字如雷贯耳，亚里士多德，亚里士多德影响历史，影响力达到两千年之久，亚里士多德的观点是朴素无华的，他认为重的物体和轻的物体做自由落体，重的物体先到落地。民间具有天真的直觉，也支持这个观点。在柏拉图的那个神秘学院，穿过学院的拱形门楼，首先映入眼帘的是几个字：“不懂几何者禁止入内。”这样的话，让人不寒而栗。
柏拉图希望通过高深的几何学来理解空间。虽然他的用词很可能引起数学农民的反感，但这条道路，是一条正确而光明的道路。平面几何最杰出的定理之一来自毕达哥拉斯。毕达哥拉斯（Pythagelas）（约公元前580—约前500），是古希腊的哲学家、数学家、天文学家，他早年曾游历埃及、巴比伦（一说到过印度）等地，为了摆脱暴政，他移居到意大利半岛南部的克罗托内，在那里组织了一个集政治、宗教、数学合一的秘密团体。这个团体后来在政治斗争中被打散，他逃到塔兰托，后来终于被杀害了。但他的学派全保留了下来，这让人想起爱因斯坦在拒绝当以色列的总统时候说的一句话：“政治只为一时，而方程可以久远。”毕达哥拉斯本人以发现勾股定理（西方称毕达哥拉斯定理）著称于世。这个定理早已为巴比伦人和中国人所知，不过最早的证明大概要归功于毕达哥拉斯学派。这个学派发现用三个整数表示直角三角形边长的一种公式：2n＋1，2n2＋2n
分别是二直角边，则斜边是2n2＋2n＋1。这公式既属于算术，又属于几何。
通过勾股定理，导致不可约分数也就是无理数的发现，这个发现者是学派的一个门徒，实际上这个发现极大地推动了数学的发展。如果要证明根号二是一个无理数，最好的办法可能是Fermat
发明的无限递降法。这个学派还有重大的发现，他们还发现正多面体只有五种，就是正四面体、正六面体、正八面体、十二面体和正二十面。这个发现被S
T yau
赞美，其实就是欧拉后来发现的关于凸多面体的欧拉定理，或者说微分几何里的高斯（Gauss）-Bonnet定理，但这个背后，还有很深沉的东西。毕达哥拉斯死后，这个学派还继续存在两个世纪之久，他的定理如果被推到很小的区域，也是正确的。几何学家往往把这样的微小三角形一个名字，美其名曰“特征三角形”。用相对论的眼光来看，毕氏的定理是描述了一个2
维平坦空间。有经验的看客会至少马上想到以下两点：第一，所有的2
维曲面都是局部共形平坦，整体上，比如Riemann 球和Poincare
上半平面都是无法与复平面建立共形等价的，当然也无法共形平坦。）第二，在所有2
维曲面上，爱因斯坦的方程天然成立。毕达哥拉斯定理与广义相对论，有着一衣带水的关系。
毕达哥拉斯定理在中国被称为勾股定理。西周时代，武王克商，周公与大夫商高讨论，商高说，“勾三，股四，弦五”，这个话不能算是一个定理，只算是一个特例。这记载于一本朝代和来历不很明显的书《周髀算经》。但该书又明确指出，周公的后人的一段对话，对话里明显表达了勾股定理。毕达哥拉斯定理说，一个直角三角形，它的两边的长度的平方和等于斜边的长度的平方。这个定理的证明方法很多，华罗庚年轻时候，也考虑过不少的证明方案。最流行的证明方案,恐怕是通过在一个边长为a b
的正方形内内接一个边长为c 的正方形来作，利用面积相等，等到a
的平方加上b 的平方等于c
的平方。这个定理出现后，可能中国古代数学家找到了很多乐趣，生活充满七色阳光，数学家开始沉沦，之后中国的数学就开始落后了，科举考试也没有想到要测试一下数学能力，导致举国出现一种靡靡之音。后来到了17
世纪，有一个叫Fermat
的法国人，他本身是一个律师，但数学才情很高，其才情之高，足以睥睨天下，比如，在数论中，他就有Fermat
大小定理传世。小定理说的是素数的一个性质，这个定理后来被欧拉推广，欧拉对比整数a
小的素数的个数引进了关于a
的一个函数。判定素数还有一个定理就是威尔逊定理。Fermat
在一本书的扉页或者页眉那样的地方写道：我可以证明a 的n 次方加b 的n
次方等于c 的n 次方，如果abc
不等于零，那它没有其他的整数解，这个我已经证明出来了，但这地方太小，写不下了。他写完这个后，也就没有多讲，后来就死去。这个命题传了出去，被称为Fermat
大猜想,或者Fermat
大定理，黑暗由此产生，几乎没有一个数学家能够证明它或者推翻它，所以，这个Fermat
大定理独领风骚三百年。后来，据说这成了一种文化，在纽约地
|
|
