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欧氏几何和希尔伯特公理
23 个定义
1. 点是没有部分的东西
2.线只有长度而没有宽带
3.一线的两端是点
4.直线是它上面的点一样地平放着的线
5.面只有长度和宽带
6.面的边缘是线
7.平面是它上面的线一样地平放着的面
8. 平面角是在一平面内但不在一条直线上的两条相交线相互的倾斜度.
9. 当包含角的两条线都是直线时，这个角叫做直线角.
10. 当一条直线和另一条直线交成邻角彼此相等时，这些角每一个被叫做直角，而且称这一条直线垂直于另一条直线。
11. 大于直角的角称为钝角。
12. 小于直角的角称为锐角
13. 边界是物体的边缘
14. 图形是一个边界或者几个边界所围成的
15. 圆：由一条线包围着的平面图形，其内有一点与这条线上任何一个点所连成的线段都相等。
16. 这个点（指定义15中提到的那个点）叫做圆心。
17. 圆的直径是任意一条经过圆心的直线在两个方向被圆截得的线段，且把圆二等分。
18.半圆是直径与被它切割的圆弧所围成的图形，半圆的圆心与原圆心相同。（暂无注释）
19.直线形是由直线围成的.三边形是由三条直线围成的,四边形是由四条直线围成的,多边形是由四条以上直线围成的.
20.在三边形中,三条边相等的,叫做等边三角形;只有两条边相等的,叫做等腰三角形;各边不等的,叫做不等边三角形.
21.此外,在三边形中,有一个角是直角的,叫做直角三角形;有一个角是钝角的,叫做钝角三角形;各边不等的,叫做不等边三角形.
22.在四边形中,四边相等且四个角是直角的,叫做正方形;角是直角,但四边不全相等的,叫做长方形;四边相等,但角不是直角的,叫做菱形;对角相等且对边相等,但边不全相等且角不是直角的,叫做斜方形;其余的四边形叫做不规则四边形.
23.平行直线是在同一个平面内向两端无限延长不能相交的直线.
部分定义讲解
1.点是没有部分的(A point is that which has no part.)。
换言之，点只占有位置而没有大小，即点的长度
d=0。这是修正毕氏学派「d>c」的失败而得到的。然而，在谈论线段的长度时，欧氏直接诉诸於常识，根本不用这个定义，避开了「由没有长度的点累积成有长度的线段」之困局。许多人抱怨「点是没有部分的」这句话难於理解，这是因为对毕氏学派的研究纲领缺乏了解的缘故。
2.线段只有长度而没有宽度(A line is breadless length.)。
3.线的极端是点(The extremities of a line are points.)
这表示线段是由点组成的并且线段只有长度而没有面积。
4.直线是其组成点，均匀地直放著的线 (A straight line is a line which lies evenly
with the points on itself.)
5.面只有长度与宽度(A suface is that which has length and breath
only.)
6.面的极端是线(The extremities of a surface are lines.)。
五条公设
1.过相异两点，能作且只能作一直线（直线公理）。
2.线段(有限直线)可以任意地延长。
3.以任一点为圆心、任意长为半径，可作一圆(圆公理)。
4.凡是直角都相等(角公理)。
5.两直线被第三条直线所截，如果同侧两内角和小於两个直角， 则两直线作延长时在此侧会相交。
通过一个不在直线上的点，有且仅有一条不与该直线相交的直线。
平行公理并不像其他公理那么显然。许多几何学家尝试用其他公理来证明这条公理，但都没有成功。19世纪，通过构造非欧几里德几何，说明平行公理是不能被证明的。（若从上述公理体系中去掉平行公理，则可以得到更一般的几何，即绝对几何。）
从另一方面讲，欧几里德几何的五条公理并不完备。例如，该几何中的有定理：任意线段都是三角形的一部分。他用通常的方法进行构造：以线段为半径，分别以线段的两个端点为圆心作圆，将两个圆的交点作为三角形的第三个顶点。然而，他的公理并不保证这两个圆必定相交。
因此，许多公理系统的修订版本被提出，其中有希尔伯特公理系统。
五条公理（a,b,c,d 皆为正数）
1.跟同一个量相等的两个量相等；即若 a=c 且 b=c，则 a = b（等量代换公理）。
2.等量加等量，其和相等；即若 a=b 且 c=d，则 a c = b d（等量加法公理）。
3.等量减等量，其差相等；即若 a=b 且 c=d，则 a-c = b-d（等量减法公理）。
4.完全叠合的两个图形是全等的（移形叠合公理）。
5.全量大於分量，即 a b>a（全量大於分量公理）。
《几何原本》的内容
《几何原本》（The
Elements）由希腊数学家欧几里得（Euclid，公元前330年～公元前275年）所著，是用公理方法建立演绎数学体系的最早典范。是至今流传最广、影响最大的一部世界数学名著。
第一卷：几何基础。重点内容有三角形全等的条件，三角形边和角的大小关系，平行线理论，三角形和多角形等积（面积相等）的条件，第一卷最后两个命题是
毕达哥拉斯定理的正逆定理；
第二卷：几何与代数。讲如何把三角形变成等积的正方形；其中12、13命题相当于余弦定理。
第三卷：讨论了圆与角。
第四卷：讨论圆内接和外切多边形的做法和性质；
第五卷：讨论比例理论，多数是继承自欧多克斯的比例理论
第六卷：讲相似多边形理论；
第五、第七、第八、第九、第十卷：讲述比例和算术的理论；第十卷是篇幅最大的一卷，主要讨论无理量（与给定的量不可通约的量），其中第一命题是极限思想的雏形。
第十一卷、十二、十三卷：最后讲述立体几何的内容。《几何原本》一书从很少的几个定义、公设、公理出发，推导出大量结果，最重要的是它给出的公理体系标志着演绎数学的成熟，主导了其后数学发展的主要方向，使公理化成为现代数学的根本特征之一。《几何原本》是数学史上的一个伟大的里程碑，问世以来，受到广泛的重视与传播。除《圣经》之外，没有任何一本著作，其使用、研究与印行之广泛能与《几何原本》相比。2000多年来,它一直支配着几何的教学。因此，有人称《几何原本》为数学的《圣经》。
战争使大量人类文化和珍贵书籍化为灰烬。欧几里得的《几何原本》手稿至今也荡然无存。现存《几何原本》的一种版本是公元4世纪末泰恩(Theon)的《几何原本》修订本。还有一个版本是18世纪在梵蒂冈图书馆发现的一个10世纪的《几何原本》希腊手抄本，其内容早于泰恩的修订本。
希尔伯特公理
希尔伯特公理体系（希尔伯特——数学史上多科全能的天才，他的二十三个问题导致数学的分科,尽管他对历史上作出了重大的贡献，但最令人敬佩的，莫过于他的高尚品质）
填补欧几里得《几何原本》中的缺陷的工作，经历了2000余年的时间，直至19世纪未才全部完成。在这期间内，数学家一般都把《原本》看作是严格性方面的典范，但也有不少的数学家看出了其中的严重缺点并设法给予纠正。为使几何基础结构得以完善，历代的数学家们付出了许多艰辛的劳动。当历史的车轮转到19世纪时，欧几里得几何基础的一些关键问题得到了完满的解决：著名的物理学家赫姆霍尔兹（Helmholtz.公元1821—1916）于1866年提出“运动”的概念；康托（Cantor，公元1829—1920），戴德金（Dedekind，公元1862—1916）分别于1871年和1872年拟了“连续公理”；巴士（Pasch）于1882年拟了“顺序公理”。在历代数学家所积累的极其丰富资料的基础上，德国数学家希尔伯特（Hilbert，公元1862—1943）完成了几何学完善的公理体系——“希尔伯特公理体系”，希尔伯特的工作使欧几里得几何的基础不再残缺，一种科学的几何从此永远地矗立于浩瀚的数学海洋之中！
希尔伯特的公理体系建立在基本概念和公理的基础上，基本概念由两部分组成：一部分是几何学的研究对象（也称基本元素），如点，线，面等；另一部分是元素间的基本关系，如结合关系，顺序关系，合同关系等。公理共有五组20条。希尔伯特的公理体系满足他自已提出三个基本要求，即相容性（公理之间互不矛盾），独立性（每一条公理不能从其余的公理推出），完备性(公理体系所有模型都是相互同构的)。[
完整的欧几里得几何公理，是德国数学家希尔伯特(Hilbert，1862—1943)于公元1899年首先提出的．其内容是：
基本概念(原始概念)：
(1)基本对象：点；直线；平面．
(2)基本关系：点在直线上，点在平面上(属于、通过、……均为在……上的同义语)；一点在另两点之间；线段合同，角合同．
公理Ⅰ结合公理
Ⅰ1对于任意两个不同的点A、B，存在着直线a通过每个点A、B．
Ⅰ2对于任意两个不同的点A、B，至多存在着一条直线通过每个点A、B．
Ⅰ3在每条直线上至少有两个点；至少存在着三个点不在一条直线上．
Ⅰ4对于不在一条直线上的任意三个点A、B、C，存在着平面α通过每个点A、B、C．在每个平面上至少有一个点．
Ⅰ5对于不在一条直线上的任意三个点A、B、C，至多有一个平面通过每个点A、B、C．
Ⅰ6如果直线a上的两个点A、B在平面α上，那么直线a上的每个点都在平面α上．
Ⅰ7如果两个平面α、β有公共点A，那么至少还有另一公共点B．
Ⅰ8至少存在着四个点不在一个平面上．
公理Ⅱ顺序公理
Ⅱ1如果点B在点A和点C之间，那么A、B、C是一条直线上的不同的三点，且B也在C、A之间．
Ⅱ2对于任意两点A和B，直线AB上至少有一点C，使得B在A、C之间．
Ⅱ3在一条直线上的任意三点中，至多有一点在其余两点之间．
Ⅱ4设A、B、C是不在一条直线上的三个点；直线a在平面ABC上但不通过A、B、C中任一点；如果a通过线段AB的一个内点，（①线段AB的内点即A、B之间的点．
）那么a也必通过AC或BC的一个内点(巴士(Pasch，1843—1930)公理)．
公理Ⅲ合同公理(合同记作≡)
Ⅲ1如果A、B是直线a上两点，A′是直线a或另一条直线a′上的一点，那么在a或a′上点A′的某一侧必有且只有一点B′，使得A′B′≡AB．又，AB≡BA．
Ⅲ2如果两线段都合同于第三线段，这两线段也合同．
Ⅲ3设AB、BC是直线a上的两线段且无公共的内点；A′B′、B′C′是a或另一直线a′上的两线段，也无公共的内点．如果AB≡A′B′，BC≡B′C′，那么AC≡A′C′．
Ⅲ4设平面α上给定∠(h，k)，在α或另一平面α′上给定直线a′和a′所确定的某一侧，如果h′是α′上以点O′为端点的射线，那么必有且只有一条以O′为端点的射线k′存在，使得∠(h′，k′)≡∠(h，k)．
Ⅲ5设A、B、C是不在一条直线上的三点，A′、B′、C′也是不在一条直线上的三点，如果AB≡A′B′，AC≡A′C′，∠BAC≡∠B′A′C′，那么∠ABC≡∠A′B′C′，∠ACB≡∠A′C′B′．
公理Ⅳ平行公理
过定直线外一点，至多有一条直线与该直线平行．
公理Ⅴ连续公理
Ⅴ1如果AB和CD是任意两线段，那么以A为端点的射线AB上，必有这样的有限个点A1，A2，…，An，使得线段AA1，A1A2，…，An-1An都和线段CD合同，而且B在An-1和An之间(阿基米德公理)．
Ⅴ2一直线上的点集在保持公理Ⅰ1，Ⅰ2，Ⅱ，Ⅲ1，Ⅴ1的条件下，不可能再行扩充．
注1．有些《几何基础》书中，常以康托(Cantor，1845—1918)
公理代替上述的Ⅴ2：
“一条直线上如果有线段的无穷序列A1B1，A2B2，A3B3，…，其中每一线段都在前一线段的内部，且对于任何线段PQ总有一个n存在，使得AnBn＜PQ，那么在这直线上必有且只有一点X落在A1B1，A2B2，A3B3，…的内部．”
注2．也有的书中，用与V1，V2等价的戴德金(Dedekind，1831—1916)公理作为连续公理：
“如果线段AB及其内部的所有点能分为有下列性质的两类：
(1)每点恰属一类；A属于第一类，B属于第二类；
(2)第一类中异于A的每个点在A和第二类点之间．
那么，必有一点C，使A、C间的点都属于第一类，而C、B间的点都属于第二类．”
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